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唐朝科举里的数学题,你可能只能做1道出来!

今天的设定是这样的:您太讨厌数学了,于是穿越到古代去搞科举,心想背背书就能取得功名,似乎还好。

确实,大多数朝代的科举,都不考稍微难一点的数学题。

但是您穿越到了唐朝,唉。

唐朝最惨专业

唐朝有一个中央教育机构叫“国子监(jiàn)”,它既是政府机关,又是最高学府。

国子监最主要的部分有6个,关系大致如下图。

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其实不同时期具体情况不一样,这里只是以《新唐书·选举志上》的体系举个例子

理论上说,对平民家孩子开放的“专业”有4个:“四门学”前途无量,“律学”黯淡无光,“书学”“算学”只有一脸惨相。而你穿越回去,上了“算学专业”。

入学了!

来都来了,咱们就简单了解一下学制吧,看看几年能出头。

算学的学制是7年。入学条件也还行:学费就是一匹绢(在当时不算贵,因为您的破专业没前途),两轮考试通过了就行(这个破专业并不卷)。

入学以后,您有两个班可以选。

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学习内容丨制图:清洁工;资料来源:《新唐书·选举志上》举例子

第一班要学10本书,第二班只学4本。我劝您选第一班,因为浓缩咖啡劲头大,浓缩铀会核爆炸,浓缩数学题?谁看谁头大。不信接着看。

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图丨作者灵魂手绘

上学吧!

选好以后,七年的寒窗苦读就要开始了。

这期间,十天一小考,每年一大考,而且没有寒暑假。好在如果您听我劝,选了第一班的话,大多数题真的不算难,咱们待会儿就见识见识它们。

考试当官了!

光阴似箭,您在9年内通过7次年终大考,终于迎来了毕业考试。要是您毕业考试也过了,那……还有一个考试——“明算科”科举考试

唐朝常规举行的科举考试也分六种,格局和国子监六大“专业”有点像。不用问,您要考的“明算科”还是最惨的。

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6种考试丨制图:清洁工;资料来源:《新唐书·选举志上》

简单介绍一下您有多惨。

首先是级别很低

在唐朝开元后期,“书、算于从九品下叙排”——通过明算科考试,您将有机会得到“从九品下”这个级别的官职。

这个级别有多低?我们平时说官职小,用“九品芝麻官”这个说法,而“九品芝麻官”都高您一等,是“正九品上”。

接着是升迁很慢。

没有特殊情况的话,唐朝官员一般每4年可以升迁1阶。

您起步是最低级的“从九品下”,距离七品的中层官职(县级)隔了8级,距离五品的高官(州级)隔了16级。也就是说,您用7年时间毕了业,然后马上考中明算科,再熬上64年不退休,就能当大官啦

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您的漫漫升官路丨制图:清洁工

不过按照唐朝惯例,像您这样的小官,到了七十岁,上司无论如何都会催着您“荣归乡里”。反正我个人没在史料中见过有哪个大官是考明算科考出来的。

不过总有您这样的人去考的,毕竟考上了有公务员编制啊

算学生的作业本

唐代数学专业学生,搞的基本都是应用题,主题是古人日常生活中会接触的事,像什么种田织布、挖土筑堤、卖米囤粮、请客吃饭、偷钱抓贼……

从今天的数学知识来看,绝大多数应用题还挺简单的,基本不需要初中以上的数学知识。我今天就带来您做几个题体验一下。

说明

1,在果壳后台回复“偷看答案”来偷看答案(不保证全对)

2,本文作者是中文系学古汉语的,没有专门学习过中国数学史。古人的解法书写简略且有独特的术语体系,作者阅读较困难。本文所有解法均利用现代数学方法完成,步骤未必与古人一致。

第一题:好简单

“今有田广十五步,从十六步,问为田几何?”

——《九章算术·方田》

翻译:

步是一种古代长度单位,240平方步是一亩。有一块长十五步,宽十六步的长方形田地,请问它的面积是多大?

第二题:追及问题!

今有迟行者五十步,疾行者七十步。迟行者以先发,疾行者以后发,行八十七里一百五十步乃及之。问迟行者先发行几何里?

——《张丘建算经》卷中

翻译:

两人作匀速运动。阿慢每个单位时间可以跑50步(“步”还是那个长度单位);阿快这么长时间可以跑70步。

阿慢先跑,阿快再追,锲而不舍地狂奔87里零150步(300步=1里)才撵上。请问阿慢先跑的那段跑了多远?

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图丨作者灵魂手绘

第三题:还是追及

今有人盗马,乘去。已行三十七里,马主人乃觉悟,追之一百四十五里,不及二十三里而还;今不还追之,问几何里及之。

——《张丘建算经》卷中

翻译:

小偷偷了马,跑了37里时,失主才开始追。失主狂追145里(大约77公里),累了不跑了,这时候距离小偷还有23里。请问如果失主有恒心,再跑多远能追到?

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图丨作者灵魂手绘

第四题:相遇问题

今有垣厚五尺,两鼠对穿。大鼠日一尺,小鼠亦日一尺。大鼠日自倍,小鼠日自半。问几何日相逢?各穿几何?

——《九章算术·盈不足》

翻译:

一堵墙,厚五尺(约1.2米),两边各有一耗子。它们相向挖洞,而且每天都是匀速运动。

第一天,俩耗子各挖了一尺。之后,其中比较大只的耗子越挖越有干劲,决定每天提速100%;小耗子拒绝内卷,每天少挖50%。

请问挖穿这堵墙时,俩耗子挖了多久,分别挖了多远。

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图丨作者灵魂手绘

第五题:开始难了

今有大夫、不更、簪褭、上造、公士,凡五人,共出百钱。欲令高爵出少,以次渐多,问各几何?

——《九章算术·衰分》

翻译:

吃饭的时候,爵位每提高n级,出的钱是1/(n+1)。比如最低级的“公士”要花6元钱的话,“不更”就只花3元,“簪裊”花2元,“上造”就只用花1.5元……

那么,爵位相邻的五个人吃饭,一共要花一百钱,请问每个人分别出多少钱呢?

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官员级别丨制图:清洁工

第六题:烦人的几何

又有环田,中周六十二步、四分步之三,外周一百一十三步、二分步之一,径十二步、三分步之二。问为田几何?

——《九章算术·方田》

翻译:

有一块环状的田地,但未必是一整圈。它的内弧长62.75步,外弧长113.5步,两条弧线间距12+2/3步。请问这块田地一共多大?

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图丨作者灵魂手绘

第七题:最后一道大题!

最后我们来看一道最难的题,它来自《缉古算经》。

《缉古算经》这本书只有二十道题,在唐朝学制里却要学四年,平均一年学五道。这本书上的内容,即使对今天的普通人来说也是颇有难度的,特别是在不许用计算器的情况下。

我们来看其中最有名的第三题。

假令筑堤,西头上、下广差六丈八尺二寸,东头上、下广差六尺二寸。东头高少于西头高三丈一尺,上广多东头高四尺九寸,正袤多于东头高四百七十六尺九寸。甲县六千七百二十四人,乙县一万六千六百七十七人,丙县一万九千四百四十八人,丁县一万二千七百八十一人。四县每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人负土二斗四升八合,平道行一百九十二步,一日六十二到。今隔山渡水取土,其平道只有一十一步,山斜高三十步,水宽一十二步,上山三当四,下山六当五,水行一当二,平道踟蹰十加一,载输一十四步。减计一人作功为均积。四县共造,一日役华。今从东头与甲,其次与乙、丙、丁。问:给斜、正袤与高及下广,并每人一日自穿、运、筑程功,及堤上、下高、广各几何?

——《缉古算经》第三问

我画了张图帮您理解,虽然您很可能也难以理解。

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图丨作者灵魂手绘

翻译:

已知AB=CD,EF=GH,AC=EG,AE=CG,AC∥BD∥FH,AB∥EF,CD∥GH,AC⊥AE,CI⊥BD,JG⊥FH,BD比AC长682寸,FH比EG长62寸,CI比GJ长310寸,EG比GJ长49寸,CG比GJ长4769寸,整个六面体面积为275924800立方寸(这个数不是题设给的,是用题设中别的数据算出来的,但算法很复杂,三言两语说不清,您默认就好了)。求AC、BD、AE、FH、CI、GJ的长度。

最后要说一点,您穿越到古代终于学完了数学、考完了明算,但要是时间不妥,怕是功名也废了:到五代时期,明算科地位继续下降,从“不重要”变为“不存在”。直到近代,相对复杂一点的数学知识才重归正规教育考试之列。

参考文献

[1] 《新唐书》,中华书局1975。

[2]《大唐六典》,三秦出版社1996年影印广池本。

[3]《汉书》,中华书局1962。

[4]《九章算术细草图说》《海岛算经细草图说》《孙子算经》《五曹算经》《数述记遗》《夏侯阳算经》,《续修四库全书》卷1041影印本,上海古籍出版社2002。

[5]《周髀算经》《五经算术》《张丘建算经》《缉古算经(附细草)》,《丛书集成新编》卷40、41影印本,新文丰出版公司1985。

[6]邱光明《中国历代度量衡考》,科学出版社1992。

[7]《旧唐书》,中华书局1975。

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